Новый метод расчёта arccos, cos, sin

[val_ka]

Решил запостить эту тему здесь, т.к. соответствующего раздела нет (или не нашёл), и думаю, что она больше подходит, всё же для программных расчётов.
Дело в том, что два года назад 17 апреля 2011, я вывел новую формулу. Она позволяет довольно сносно рассчитать угол прямоугольного треугольника, без таблиц Брадиса, формул Тейлора, и т.п..
Я опубликовал фотку на форуме nkj.ru в разделе "Полигон". Отзывы от математиков, были: трое были "за" - только просил один увеличить точность до 8-й степени, один сначала против, потом воздержался .
Сегодня хотел дать ссылку, на эту тему, но оказалось, что старого форума нет, а новом форуме нет старого.

осталось только это:
http://www.nkj.ru/search/?q=%ED%EE%E...0&where=&how=r

И больше ничего. Привожу оставшийся текст на всякий случай.

Новый метод нахождения острого угла прямоугольного треугольника.

Автор: Валентин Конон. Здравствуйте. Может метод и не новый, но я его разработал вчера. Хочу сказать, что в нескольких ... ... из-за одного задания и обстоятельств, вычислить угол Альфа любого прямоугольного треугольника, имея только катет и гипотенузу, без таблиц Брадиса,... ... формулу. Т.к. не смог её доказать, то привожу весь ход моего расчёта на прилагаемой фотографии. Формула достаточно проста, и ... ... гипотенуза. точность в радиан: самая грубая +\- 0,0048 точность угла: самая грубая +\- 0,2628 градуса. (это когда подкоренное ...
Изменен: 20.04.2011
Путь: НАУКА И ЖИЗНЬ / Форум журнала «НАУКА И ЖИЗНЬ»

Могу добавить, что "самая высокая точность" e-5. (такую точность можно оставить на всех углах от 0 до 90, если подобрать - exel это очень просто - третье слагаемое для каждых 10, например градусов и менять их по условию).
Собственно, фотка, которую сделал только что ещё раз, и выкладываю чуть ниже.
По сути - это alpha=arccos(x);
Если решить квадратное уравнение, то один из корней - это будет cos(alpha)=x. (возведёте обе части в квадрат и решите).
Думаю, что формула позволит выполнять вычисления углов, даже на pic16f84 и им подобных.
(формулу гонял в exel - вроде всё неплохо). Также она хороша тем, что позволяет непосредственно считать в абсолютных величинах, и применять на практике с достаточной точностью).
(Для египтологов скажу, что эта формула даже показывает, что египтяне могли и не знать числа pi - оно, как видите, сокращается до удобоваримого варианта формулы).
Ссылка на тот адрес на nkj.ru была также дана на форуме hatcha (по ассемблеру), в ответе на вопрос (кого-то) - Знает ли кто-то формулу полегче (побыстрее) из-за слабого микроконтроллера в проекте для заказчика.
Думаю, что они уже пользуются во всю, хотя бы в игрушках на микроконтроллерах, или роботах. (скорость обработки и соответственно реагирования, повышается на несколько порядков).
Хотя формула позволяет себя реализовать даже на аналоговых элементах.

Вообщем, вот фотка вывода формулы. Заметки, к сожалению, я писал на английском, но ведь математика и так понятна, я думаю. (Если кому-то пригодится - буду рад).

[eddy]

Так у вас там просто первые 2-3 члена разложения в ряд Тейлора используются что ли?

[val_ka]

там нет "тейлора" вообще.
Там корень. И начало вывода из геометрии.

ps: один из математиков (на "науке и жизнь") тоже так сначала сказал, но потом "всмотрелся по внимательнее".

[eddy]

val_ka, батенька, точность у вас жутчайшая. Для проверки накатал быстренько в octave:

arc.m:

function d = arc(k, h)
	Cos = k./h;
	d = 120.*sqrt((0.559-0.111.*Cos).*(1-Cos));
endfunction

проверяем:

H=1;                % гипотенуза
K=[0:0.01:1];       % набор катетов
App=arc(K,H);       % примерный арккосинус
Rea=acos(K)*180/pi; % настоящий арккосинус
D = Rea-App;        % разность
plot(D);            % график, если надо - выложу, но вы и сами повторить в силах
std(D)              % среднеквадратичное отклонение

ans =  0.15108

max(abs(D))         % предельное абсолютное отклонение

ans =  0.28044

Т.е. предельная ошибка составляет почти 17'!!!
Такое грубое приближение годится лишь для указания угла наклона дороги на знаках!

// в общем, вы бы сначала точно все проверили, чтобы очередным Петриком не прослыть.

[val_ka]

Проверьте сами (прежде чем быстренько). У меня всё точно. (вы ошиблись в своей быстренькой программе).
Лучше проверьте в exel.
Прекратите переходы на личность. Мы не на базаре. (так, рекомендация).

ps: точность такая, как было заявлено раньше. (тем более, что для повышения точности, надо создать табличку с третьим слагаемым, в зависимости от группы углов).

[pambaru]

Т.е. предельная ошибка составляет почти 17'!!!
Такое грубое приближение годится лишь для указания угла наклона дороги на знаках!
// в общем, вы бы сначала точно все проверили, чтобы очередным Петриком не прослыть.

Ну так автор и написал: +\- 0,2628 градуса.
Какие могут быть претензии? Кому хватит этой точности, будут использовать.

[val_ka]

Ну так автор и написал: +\- 0,2628 градуса.
Какие могут быть претензии? Кому хватит этой точности, будут использовать.

Максимальная точность при расчётах близких к 30 градусам e-5
Минимальная при близких к 60: +/- 0,2628

Если менять третье слагаемое, в зависимости от угла, с интервалом в 10 градусов (или пять), то получится гораздо большая точность во всём диапазоне от 0 до 90. (десятые или точнее).
При этом таблица для третьего слагаемого (общий случай 0,559) будет состоять из девяти, или 18 чисел, соответственно.

[eddy]

вы ошиблись в своей быстренькой программе

Где?

Лучше проверьте в exel

Ага, проверять формулу на точность в "охфисной" программке. Ну и затейник вы, батенька!

Ну так автор и написал: +\- 0,2628 градуса.

Черт, а я и не обратил на это внимания. В глаза попалось E-5.

Максимальная точность при расчётах близких к 30 градусам e-5

Ага, при линейной интерполяции по таблицам Брадиса точность еще выше…

Но для МК сойдет, согласен: проще разбить интервал 0..1 на десяток-другой подынтервалов и задать на каждом простенькую квадратичную интерполяцию, нежели табулировать Брадиса.
Кстати, еще вариант: затабулировать штук 100 значений и вычислять арккосинус и арксинус интерполяцией B-сплайнами. Это легко и быстро. И точность выше будет.

[pambaru]

Налобал наскоряк программку, тестирование в заданном диапазоне с шагом 0.01 градус.
Максимум получилось 0.2792 градуса

[eddy]

pambaru, а чего бинарник-то выкладываете? Выкладывайте исходники, каждый сам себе соберет. Это проще, чем пытаться ваш вендовый бинарник запустить (да и мало ли: вдруг там вирье какое…).

Вот, кстати, обещанный график погрешностей.