ABC Murder - "разоблачение" 
По некоем размышлении появилась мысль, что, наверное, не стоит далее раздражать форумчан этой и так уже, очевидно, набившей оскомину задачей.
Сообщение от AnatolyN
|
|
И что удивило почти нигде не оперируют цифрами и тем более процентами. Нашел только один сайт очень интересного названия с математическими рассуждениями.
|
|
Сообщение от Марья-2
|
|
Но решение математической задачи "без циферь" - это как-то ... гм... не очень убедительно.
|
Попробуем это исправить, и сначала - для задачи в ее исходном виде. Некоторые частные ответы были здесь получены и ранее, но я хочу вынести на суд более общее решение. Я не математик, но попробую напрячь крохи своих познаний в этой области, решение не гуглил. Может, для многих в этом не будет откровений, но кому-то может и пригодится.
Стратегия "A", очевидно, должна приводить к максимальной
сумме (как раз тут - именно сумме)
вероятностей всех положительных для него
конечных исходов этой тройной дуэли - назовем ее "триэль".
Причем стратегию свою A может реализовать только в первом выстреле, дальше чтобы выжить ему надо просто стрелять и попадать. Результатом стратегии считаем
полную сумму вероятностей всех положительных конечных исходов для данного начала.
|
Сообщение от vo1
|
|
Следующим будет стрелять В (по очереди), а он 100-тный убийца. Так как ближайший его конкурент по вероятности товарищ С (вероятность 0,5) а товарищ А эму меньший конкурент (вероятность 0,3), то он (В) выберет С..
|
Далее варианты с учетом предположения такой стратегии "B" я буду называть "умный B".
Эта симпатичная вероятностная задача выглядит поначалу сложной и запутанной, но на самом деле легко, красиво и
точно решается - с помощью
графов, на которых рисуются события (выстрелы) и их исходы. Исходов каждого события в исходной задаче всего два - попал (убил) или промахнулся (стреляет следующий по очереди, если таковые остались). Глубокие психологические факторы, типа "X осерчает из-за того, что стреляли именно в него, и станет из принципа стрелять в Y или Z" я пока не рассматривал, но в при желании это легко можно будет отразить в модели в дальнейшем, заведя в соответствующих местах соответственные весовые коэффициенты распределения вероятностей.
Исходы изображаем стрелками, у которых подписываем вероятности их наступления, эти вероятности равны "меткости" участника, или его "мазкости"
, либо вероятности выбора соперника для B. Где случались покойники - они подписаны около стрелок-исходов (нацарапал в Paint'е, как сумел - со сканером у меня в данный момент проблемы, вместо стрелок здесь просто линии):
Построив граф, остается лишь пробежать по
всем стрелкам полученных ветвей, от начала к конечным исходам,
перемножая величины, которые помечены возле пробегаемых стрелок. В результате получаем набор вероятностей этих конечных исходов - гибели A или его победы, на графе они подписаны под соответствующими концами ветвей. Суммируем (и тут как раз - суммируем) все эти соответственные вероятности для контретного начала A - радостные и печальные, для контроля проверяем их сумму - она должна быть 1 (поскольку совокупность всех вероятных исходов есть событие достоверное).
Случай 1. Если триэлянт B - НЕ "умный" (приведенные графы - именно для этого случая), то выбор, в кого он будет стрелять, предполагаем случайным, перед его выстрелом стрелка на графе раздваивается с вероятностями 0,5-0,5, порождая две отдельные подветви.
Отдельная история -
ветвь с "бесконечной перестрелкой" A и C в случае, когда A первым выстрелом убивает B (патроны им подвозить, я понимаю, будут без ограничений?
) - считаем отдельно через сумму (и тут как раз - сумму) всех положительных и отрицательных исходов. Здесь получаются их сходящиеся ряды (хотя бы из тех соображений, что любая из этих сумм не может первышать единицу, если получится иначе - значит что-то неверно в подходе или в формализации задачи). По вычислению пределов их сумм получаем, что суммы вероятностей выигрыша и гибели для A в этой
перестрелке соотносятся как
0,2308 и 0,7692 (если про эти ряды интересно - могу показать отдельно). Результаты добавляем к общей сумме вероятностей выигрыша и гибели A для данного конкретного начала A. Расчеты показали, что в данном случае перестрелка с C добавляет почти 7% шансов для A (0,3*0,2308 ).
Получаем в итоге: если выбор соперника игроком "B" будет
случайным, то при первом выстреле
A в C его шансы выиграть равны
0,105, а при первом выстреле
в B -
~0,17424. Если первый выстрел A делает
в воздух (граф специально для этого случая легко можно построить, изменив вероятности промежуточных исходов в соответствующих местах, отчего будут исчезать некоторые целые ветви), то его шансы выиграть составят
0,15, т.е. меньше, чем при первом выстреле в B.
Т.е.
при случайном выборе участником "B" своей мишени начинать стрельбу надо именно в него.
Случай 2. B - "умный", он своей первой мишенью гарантированно выберет "С" (граф также легко теперь построить). Тогда A имеет в итоге шансы:
- при первом выстреле
в C -
0,21,
- при первом выстреле
в B -
0,27924,
- при первом выстреле
в воздух шансы A повышаются до его единственного выстрела в цель и равны его меткости -
0,3, и это в данном случае лучше, чем если начинать стрелять в B.
С помощью такого подхода легко теперь посчитать все шансы для, например, обратного порядка выстрелов - A-C-B, и для прочих отличий в правилах. И даже с учетом какой-то заданной вероятности взрыва пистолетов - просто в каждом событии появится еще по одному исходу, последствия которого также легко проследить с помощью графа и где их надо будет просуммировать с прочими случаями гибели или победы нашего триэлянта "A".
У меня
для "взрывающихся" с вероятностью 0,2 пистолетов и "умного B" получилось:
- при первом выстреле
в C -
0,248416,
-
при первом выстреле в B - 0,2919616,
- при первом выстреле
в воздух -
0,2863104
т.е. принципиально картина (выгоднейшая стратегия для A) для этих новых условий -
изменилась. Любопытно, что при условии взрывающихся пистолетов заметно улучшились
шансы A в его перестрелке с C (вычисляемые через сумму бесконечного ряда), теперь они тут у него
0,38144 против 0,61856 для C.
Главная цель этого изложения - показать, что в таких с виду запутанных задачах нет ничего страшного, главное - верный изначальный подход и выбор методики.
Отдельное большое спасибо Марье-2 
за то, что пробудила во мне этой задачей позыв к освежению познаний в элементарной теории вероятностей и рядам, кои с институтских времен рассеялись почти в ноль.
Re: Эрудиция и смекалка
(какой учебник по "вышке" открыть подсказать , аль сами знаете ?)
--- Но он почему-то не падает ? Не так ли ?
.
