[Решено] Емкость планарного конденсатора

[phil311]

Формула была такая - придется описать словами, т.к. не умею до сих пор писать формулы на компе. Емкость "цэ" равна "дубль-вэ" (длина зазора, 30 см) умноженная на диэл. постоянную вакуума "эпсилон нулевое", умноженное на дробь, где в числителе 2, в занменателе "пи", далее умноженное все это на натуральный логарифм от учетверенной величины "эль" деленного на "эс", где "эль" двойная ширина пластины (в направлении поперек зазора, то есть в данном случае 42 см, а "эс" - размер зазора (0,2 см). Может быть я что-то напутал в расчетах? Аргумент логарифма у меня получился 42х4/0,2=840, сам логарифм = 9.

[phil311]

Проверил расчеты. Ошибся с логарифмом. Получается он равен 6,7. А емкость получилась теперь 134 пФ. Опять что-то слишком много. М.б. формула записана для системы СИ, а не для СГС... Что-то уже настолько физику забыл, вообще уже ничего не помню... Одинакова запись формул для этих систем или нет.... СГС была бы удобна в том плане, что в ней "эпсилон нулевое" равно единице безразмерной...

[phil311]

Ну вот, облажался я с этой системой СГС. Нашел величину диэл. постоянной в СИ (8,85 на 10 в минус 12-й Фарад/метр, то есть 8,85 пФ/метр), посчитал еще раз уже в СИ, и получил емкость 11,9 пФ. Довольно-таки близко к измеренной. То есть формула стало быть работает, если ее правильно применять. Надо будет посчитать еще для нескольких случаев, чтобы удостовериться в надежности совпадения теории и практики.
А tauP10 - мой респект!!! Если интересно, могу для Вас рассказать подробнее, зачем мне все это понадобилось.
Предполагаю что для цилиндрического коллинеарного конденсатора (две пивных банки без донышек на одной оси "встык" с зазором) можно применить ту же формулу, мысленно "развернув" цилиндр в плоские пластины. Впрочем, полной уверенности нет. Мне уже неудобно просить tauP10 о чем-то еще.... А то бы пожалуй попросил повторить опыт с двумя пивными банками. А проходящие мимо инженеры наверное подумают, что вот уже коллега "окончательно слетел с катушек"
Должен принести извинения гуру форума Алексу за свои грубые высказывания. Все-таки данная им ссылка оказалась полезна, формула вроде бы работает...

[tauP10]

1 мм провода на длине 300 мм
пр растоянии 10 мм между ними имеем емкость 3,4 pF
при расстоянии 20 мм емкость 2,0 pF

измерения трудоемки , проволока кривится а фиксировать ее чем-то проблемно, повлияет на измерения. Фиксировал узкими полосками скотча, надеюсь сильно не наврал.

[phil311]

О как! При расстоянии 10 мм провода - 3,4 пФ, а пластины 6,5 пФ. При расстоянии 20 мм провода - 2,0 пФ, а пластины - 5,2 пФ. То есть разница в два и более раза. Причем при увеличении зазора разница становится больше, что и следовало ожидать. Фиксировать провода можно было небольшим количеством тонких диэлектрических пластинок, расположенных перпендикулярно проводам, с отверстиями в этих пластинках. Если объем занятый диэлектриком невелик, то диэлектрик роли не играет. Так делают "воздушные" линии передачи.

[vouk]

Вывел формулу. Это не очень сложно. Конечно, нужно интегрировать. Но Ваша догадка верна: просто разбить на полоски и сложить нельзя, картина поля от отдельной полоски будет другой. Если Вас интересуют подробности, изложу в отдельном посте. Ссылку Алекса с формулой специально не смотрел, чтобы не поддаваться влиянию. Формулу попробую изобразить здесь:
C = (2*h*epsilon o /pi)* ln(R2/R1)
h - размер пластин вдоль смежных торцов
epsilon o - диэлектрич постоянная вакуума
R1 и R2 - расстояние до краев прастин от оси симметрии
все в системе СИ,
пластины - бесконечно тонкие, если они толстые, то нужно добавить емкость ближайших кромок по формуле плоского конденсатора.
Вопросы можно задавать
ЗЫ Да, пивную банку, безусловно, можно мысленно разрезать вдоль и считать по этой же формуле.

[tauP10]

пивную банку, безусловно, можно мысленно разрезать вдоль и считать по этой же формуле.

Мне кажется это неверное предположение.

Развернутая "плоская" конструкция имеет электрическое поле с двух поверхностей, ведь так?
Свёрнутые в цилиндры листы с внутренней стороны уменьшают объем электрического поля при той-же напряженности поля что и до сворачивания (при одинаковой разности потенциалов) Так?
Энергия электрического поля с внутренней строны цилиндров уменьшится в связи с уменьшением объема поля.
Емкость уменьшится .... ИМХО.

[vouk]

phil311, сравнил с Вашим описанием формулы, то что до логарифма - один к одному, а то что под логарифмом - связано с различным способом опмсания геометрии конденсатора, думаю. Мне кажется,что у меня это проще и вряд ли я ошибся.

[vouk]

Цитата:

пивную банку, безусловно, можно мысленно разрезать вдоль и считать по этой же формуле.

Мне кажется это неверное предположение.

Развернутая "плоская" конструкция имеет электрическое поле с двух поверхностей, ведь так?
Свёрнутые в цилиндры листы с внутренней стороны уменьшают объем электрического поля при той-же напряженности поля что и до сворачивания (при одинаковой разности потенциалов) Так?
Энергия электрического поля с внутренней строны цилиндров уменьшится в связи с уменьшением объема поля.
Емкость уменьшится .... ИМХО.

Гмм... Я считал на две поверхности, а когда говорил про банку, то почему-то имел в виду только наружную
С наружной поверхностью все останется так же, а с внутренней - в зависимости от всех трех измерений. Если "банки" короткие и близко расположены (кольца), то будет то же самое. Если же длинные (трубы) и расположены далеко, то внутренняя поверхность вообще вклада не внесет.
Если у банок не отрезать донышки (а зачем их отрезать?), то емкость от внутренней поверхности вообще строго равна нулю
ЗЫ Насчет напряженности Вы неправы, на достаточном расстоянии от открытых концов она вообще равна нулю внутри банки и строго равна нулю, если банка с донышками. Но посчитать это, боюсь будет трудновато...

[phil311]

Уважаемый vouk ! Благодарю за формулу. Вывод ее конечно тоже интересен, неплохо было бы увидеть логику рассуждений. А что, интеграл там в самом деле "эллиптический", или какой-то попроще?
Вот Вы не смотрели чужую формулу, а теперь-то уже
можете и посмотреть. Или прямо по той ссылке формула (10) или где-то выше я ее описал словесно. В общем все что перед логарифмом - абсолютно то же самое. Длина зазора, эпсилон-нуль и двойка в числителе, "пи" в знаменателе. А вот аргумент логарифма не такой.
В аргументе там 4 "эль" деленное на "эс", где "эль"
ширина всего конденсатора в направлении, перпендикулярном зазору, а "эс" ширина самого зазора. Вы не уточнили про R1 и R2 - что есть что. Предположим, что R1 это половина зазора, а R2 - это ширина пластины плюс ползазора. Тогда все похоже но "не Ваша" фомула отличается еще коэффциентом "4" в аргументе логарифма. Логарифм берется от величины,в 4 раза бОльшей, чем у Вас. Возможно, я неверно понял Ваши обозначения. Посчитайте, пожалуйста, по своей формуле емкость пластин 210х300, длина зазора 300, ширина зазора 2 мм. По измерениям tauP10 получилось 11 пФ, по моим расчетам (по "не Вашей" формуле) вышло 11,9 пФ. А что получится у Вас?
И все-таки интересно - если просто разбить на полоски и сложить нельзя, то как тогда надо интегрировать? Ведь в простйешем случае "интеграл" это и есть результат простого "сложения полосок". Как Вы учитываете "эффект экранирования" одних полосок другими?
Та формула, по которой считал я, для меня пока осталась "эмпирической", потому что я так и не понял, как она получена. Авторы той статьи получили формулу "с легкостью необыкновенной", так что надо немало времени, чтобы разобраться, почему получается именно такая формула.
Насчет банки я все-таки не уверен, не будет ли некоторого отличия в емкости благодаря кривизне поверхности и тем самым отличия в конфигурации электрического поля. Все-таки планарный конденсатор симметричен относительно плоскости своей "планарности", а в системе двух банок одно дело поле снаружи и другое дело - внутри банок. М.б. и не очень большое отличие емкости, но на "вскидку" кажется, что оно вполне может быть...